روش کوادراتور و بلوکی برای حل معادلات انتگرال خطی ولترای نوع دوم- قسمت ۳

توابع خطی درونیاب به صورت زیر می باشند:
و چند جمله ای های لاگرانژ به صورت زیر تعریف می شوند:
که در رابطه ی زیر صدق می کنند :
و درونیابی لاگرانژ به صورت زیر می باشد
رابطه ی فوق وجود مساله درونیاب لاگرانژ را نشان می دهد یکتایی مساله با بهره گرفتن از بند ۳ قضیه­ی ۲ .۱ .۲ اثبات خواهد شد. مرجع [۳] را ببینید.
قضیه ۲٫ ۱٫ ۵ (خطای درونیابی لاگرانژ) فرض کنیم ، آنگاه ای بین و وجود دارد به طوری که :
اثبات .مرجع [۳] را ببینید.
۲ .۲ کوادراتور های عددی
انتگرال زیر را در نظر می گیریم
که w(s) یک تابع وزن دار است. به طور کلی یک روش کوادراتور از هراطلاعاتی درباره ی تابع f(s) می تواند استفاده کند، ولی ما تنها حالتی را در نظر می گیریم که اطلاعات، به مقادیرf(s) در نقاط محدود باشد و تقریب Q به صورت زیر می باشد.
به ، نقاط (گره های ) کوادراتور و به وزن های کوادراتور گوییم. Ef خطای کوادراتور است [۳]
نقاط و وزن های کوادراتور بایستی در مساله طوری انتخاب گردند که حتی الامکان تقریب در بعضی جملات دقیق باشد. دو روش مجزا برای انتخاب نقاط کوادراتور و وزن ها وجود دارد:
-نقاط و وزن ها در پیشرفت کار، برگزیده نمی شوند: مانند روش مونت کارلو
– نقاط و وزن ها در پیشرفت کار، متناسب با کلاسی از تابع داده شده، برگزیده می شوند.
کلاس از توابع R را در نظر میگیریم که f(s) به آنها تعلق داشته باشد ضوابط زیادی وجود دارند که منجربه قاعده ی مناسب می شوند دو روش که عمومیت بیشتری دارند عبارت اند از :
آ. قاعده ی بهینه [۱۸]به ازای هر N ، پارامترهایی از قاعده را انتخاب می کنیم که مینیمم شود.
ب. روش از بین بردن خطا[۱۹]زیر کلاس R0از R را انتخاب می کنیم، پارامترها در قاعده را باید طوری مرتب کنیم که به ازای هر . کلاس نابودی قاعده ، است و پارامترهای قاعده ، نقاط و وزن ها می باشند هم چنین زیر کلاس رایج در روش (ب)، چند جمله ای ها هستند. در استفاده از این زیرکلاس ها به تعریف زیر نیاز داریم:
تعریف ۲٫ ۲٫ ۱ فرمول کوادراتور دارای دقت درجه n است اگر به ازای هر چند جمله ای با درجه ی کمتر یا مساوی n، خطای انتگرال گیری برابر صفر شود.
۲ .۲ .۱ چند کوادراتور عددی
در این بخش چند کوادراتور عددی که بیشتر با آن ها برخورد می کنیم بیان می شود.
کوادراتور درونیابی
فرض کنیم یک چند جمله ای درونیاب در نقاط باشد و ، چند جمله ای لاگرانژ متناظر باشد. کوادراتور درونیابی برابر است با :
که وزن ها، و گره ها ، ها می باشند. در صورتی که تابع را تغییر دهیم ، وزن ها تغییر نمی کنند، بنابراین وزن ها مستقل از تابع اند.
با بهره گرفتن از تغییر متغیر داریم:
بنابراین
قضیه ۲٫۲٫۲ فرض کنیم دریک فرمول کوادراتور، از ۱+n نقطه ی متمایز استفاده شود.
دراین صورت فرمول کوادراتور فوق ، فرمول کوادراتور درونیابی است، اگر و تنها اگر دقت انتگرال گیری آن حداقل n باشد.
اثبات، مرجع [۳] را ببینید.
کوادراتور نیوتن کاتس[۲۰]
درصورتی که در کوادراتور درونیابی، گره ها متساوی الفاصله باشند؛ به کوادراتور حاصل، نیوتن کاتس گفته می شود. اگر گره ها شامل نقاط آغازی و پایانی باشند، به آن نیوتن کاتس بسته و در غیراین صورت، نیوتن کاتس باز می گوییم[۳].
قضیه ۲٫۲ .۳ فرض کنیم ، نیوتن کاتس باشد، دراین صورت به ازای هر n که
، ([] جزءصحیح است) داریم:
اگر n زوج باشد، ۲=a و اگر n فرد باشد ، ۱= a می باشد. در صورتی که ۰= Bنیوتن کاتس بسته است و اگر ۱- =B ، نیوتن کاتس باز است و همواره کوچکتر از صفر است.
اثبات.مرجع [۳] را ببینید.
نتیجه ۲٫ ۲ .۴ دقت انتگرال گیری در روش نیوتن کاتس، در صورتی که n فرد باشد، برابر n و در صورتی که n زوج باشد ، برابر ۱+ n می باشد.
کوادراتور گاوسی
روش کوادراتورگاوسی، روشی است که درآن گره ها و وزن ها مجهول اند و بایستی طوری تعیین شوند که بالاترین دقت را داشته باشیم به عبارت دیگر در این روش، در حالی که تعداد گره ها ثابت است درجه ی دقت افزایش می یابد.
حل این مساله انتگرال گیری با ریشه های چند جمله ای های متعامد ارتباط دارد. این ارتباط در ادامه بیان می شود.
قضیه ۲٫ ۲٫ ۵ فرض کنیم، ، فضای چند جمله ای های درجه ی n، متعامد بر بازه ی [a,b] باشد. به ازای تابع وزن دلخواه w(s) ، دنباله ی چند جمله ای های منحصر به فرد
وجود دارد به طوری که رابطه ی زیر برقرار است.
اثبات : مرجع [۳] را ببینید.
تعریف ۲٫۲ .۶ چند جمله ای های لژاندر به صورت زیر تعریف می شوند:
این چند جمله ای ها بر بازه ی متعامد اند و از رابطه ی زیر بدست می آیند:
تعریف ۲ .۲ .۷ به ریشه های چند جمله ای های ، نقاط گاوسی[۲۱] گویند.
تعریف ۲ . ۲٫ ۸ به ریشه های چند جمله ای های ، نقاط رادو[۲۲] گویند.
تعریف ۲ .۲ .۹ به ریشه های چند جمله ای های ، نقاط لوباتو[۲۳] گویند.
ملاحظه ۲٫۲٫ ۱۰ در روش گاوس با تغییر متغیر بدست می آوریم:
با قرار دادن داریم:
فرمول گاوس برای دو نقطه به صورت زیر است:
و فرمول گاوس برای سه نقطه به صورت زیر در خواهد آمد:
۲٫ ۳ دستورهای استفاده شده
-روابط قاعده ذوزنقه ای :
ذوزنقه ای ساده
ذوزنقه ای مرکب
که درآن
رابطه ی فوق بیان می دارد در صورتی که ، یعنی تابع و مشتقات آن تامرتبه ی دوم بر [a,b] پیوسته باشند، آنگاه خطای قاعده ی ذوزنقه ای مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
که درآن تقریب ذوزنقه ای مرکب انتگرال است . خطای قاعده ی ذوزنقه ای مرکب متناسب با است و این قاعده برای چند جمله ای های حداکثر از درجه ی اول دقیق است . اگر یک کران بالا برای باشد ، یعنی :
آنگاه داریم:
بنابراین در محاسبه به روش ذوزنقه اگر بخواهیم که باشد، کافیست h را چنان بدست آوریم که :
روابط قاعده ی نقطه ی میانی :
نقطه ی میانی ساده
نقطه ی میانی مرکب
که درآن
رابطه ی فوق بیان می دارد که خطای قاعده ی نقطه ی میانی مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
که در آن و M(h) تقریب نقطه ی میانی مرکب انتگرال است و یک کران بالا برای در بازه ی [a,b] می باشد.
 روابط قاعده ی سیمپسون:
سیمپسون ساده
سیمپسون مرکب
که درآن
رابطه ی فوق بیان می دارد خطای قاعده ی سیمپسون مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
که در آن و S(h) تقریب سیمپسون مرکب انتگرال است . خطای قاعده ی سیمپسون مرکب متناسب با است و این قاعده برای چند جمله ای های تا درجه ی سوم دقیق است. ازاین که مشخص نمی باشد و در عمل قرار می دهیم :
آن گاه داریم :
بنابراین در محاسبه به روش سیمپسون اگر بخواهیم باشد ، کافیست hرا چنان اختیار کنیم که:
فصل سوم
روش گام های متغیر

 

Add a Comment

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *